lacerta muralis

 
Emilio Filippini, Cristo

 

Considerazioni sulla prova ontologica di Kurt Gödel sull'esistenza di Dio

La formulazione di Gödel è la seguente:
Assioma 1: Una proprietà è positiva se e soltanto se la sua negazione è negativa.
Assioma 2: Una proprietà è positiva se contiene necessariamente una proprietà positiva.
Teorema 1: Una proprietà positiva è logicamente coerente.
Definizione 1: Una cosa è simile a Dio se e soltanto se possiede tutte le proprietà positive.
Assioma 3: Essere simile a Dio è una proprietà positiva.
Assioma 4: Essere una proprietà positiva è un fatto logico e quindi necessario.
Definizione 2: Una proprietà P è l'essenza di x se e soltanto se x ha la proprietà P e p è necessariamente minimale.
Teorema 2: se x è simile a Dio, allora il fatto di essere simile a Dio è l'essenza di x. Definizione 3: X esiste necessariamente se ha una proprietà essenziale.
Assioma 5: Essere necessariamente esistente è simile a Dio.
Teorema 3: Deve esserci qualche x tale che x è simile a Dio.

Prima di tutto, è meglio chiarire esattamente il significato dei termini che usa Gödel nella sua dimostrazione, soprattutto: "assioma", "definizione" e "teorema".
Il termine "assioma" deriva dall'aggettivo greco a\xioéw, che significa "degno". Per la logica matematica, con assioma s'intende, nel senso più ampio possibile, una proprietà o un principio che risultano veri intuitivamente e immediatamente, senza che ci sia la necessità di ricorrere ad una loro dimostrazione, e che, eventualmente, assieme ad altri assiomi, consentano di ricavare per deduzione altre proprietà o altri principi.
Il termine "definizione", sempre in termini di logica matematica, è riferito alla determinazione esatta d'un concetto, cioè all'individuazione perfetta d'una nozione. Naturalmente la definizione astrae da qualsiasi implicazione di tipo ontologico od epistemologico. Esistono tre tipi di definizione: la prima si chiama definizione esplicativa, e pone l'identità tra il significato d'un simbolo e quello d'una serie di altri simboli; la seconda è la definizione semantica, che attribuisce ad un simbolo il significato appartenente ad un'altra serie di simboli; la terza è la definizione sintattica, che introduce un nuovo simbolo, che non esiste prima, come abbreviazione di altri simboli.
È evidente che le definizioni esplicative - che pure sono le più importanti - possono essere completamente false o inadeguate. Per esempio, nell'uso comune del linguaggio, quando si vuole dire che una persona è capace, è brava, sa fare bene le cose, si usa dire "sei forte". Questa parola "forte" non ha nessuna relazione con il concetto proprio di "forte", però esprime esattamente ciò che si intende a proposito di una persona capace d'eseguire certe operazioni. Allora, è chiaro, che la definizione che in questo caso attribuisco a questa persona, non ha alcunché di reale, perché questa persona può essere debolissima. Tuttavia il concetto che riesco ad esprimere attraverso la definizione che ottengo ricorrendo all'aggettivo "forte" chiarisce esattamente quello che voglio dire di questa persona. Questa è quindi una definizione di tipo esplicativo, che può essere falsa, in quanto la persona che ho di fronte non è davvero forte, però esprime esattamente il concetto che voglio esprimere. Gli altri due tipi di definizione invece ricorrono nell'uso logico-matematico in modo più ristretto , perché non possono assolutamente mai essere false.
È bene chiarire anche l'ultimo concetto che Gödel usa in questa dimostrazione, quello indicato dalla parola "teorema". Anche questa parola deriva dal greco, ed è riferita ad una dottrina trovata speculando e dimostrando per via deduttiva. Le vie deduttive, per le dimostrazioni di tipo logico, sono quelle che fanno parte della logica formale, e che sono generalmente distinguibili in base ad alcuni principi: quello del terzo escluso, il ponendo ponens, il tollendo tollens ecc.. Si tratta di modi logici matematici per dedurre determinate cose da alcune ipotesi. (Le altre vie deduttive sono il sillogismo ipotetico, il sillogismo disgiuntivo, il dilemma costruttivo, l'assorbimento, la semplificazione, la congiunzione e l'addizione). Quindi, con il teorema, c'è già un passaggio da alcune situazioni che possono essere assiomatiche, ipotetiche o definitorie, ad una conclusione ottenuta attraverso processi logici che rispettano le regole della logica matematica. Abbiamo così isolato i tre strumenti che Gödel usa per arrivare a dimostrare che Dio esiste.
Apro ora un breve inciso, che mi pare abbastanza divertente. Ricordo che, la prima volta che mi è capitato tra le mani questo teorema di Gödel, ho letto il primo assioma ed ho chiuso il libro, rifiutandomi di continuare nella mia lettura. Ripreso in mano questo testo alcuni anni più tardi, anche sulla sollecitazione di Perrella che mi ha chiesto di parlarne, mi sono accorto di quale fosse stato il motivo di quella mia reazione di rifiuto. In realtà, il primo assioma pone già i fondamenti incontrovertibili - per lo meno per quanto appare a me -, per arrivare alla dimostrazione che Dio esiste. Io, naturalmente, partivo da una posizione totalmente atea, e trovandomi di fronte a questo assioma ho reagito rifiutandomi di seguire l'articolazione logica della dimostrazione.
Il primo assioma è assolutamente incontrovertibile, e non contiene niente di segreto. Però contiene delle implicazioni che cercherò di chiarire. Esso è formulato in questo modo: "Una proprietà è positiva se e soltanto se la sua negazione è negativa". Sembra totalmente ovvio, eppure tanto ovvio non è. Infatti, per rendere più vivace l'esposizione, chiediamoci che cos'è una proprietà positiva? Proprietà positiva è una proprietà che nulla toglie a ciò che si dice. Allora dobbiamo pure chiederci se esistono o non esistono delle proprietà positive. Per esempio, se io dico: "Questo è un foglio di carta", esserlo è una proprietà positiva di quest'oggetto? Stando alla definizione che ne abbiamo dato, certamente sì. Si potrebbe obiettare che la proprietà positiva non è certamente dalla parte dell'oggetto (il foglio di carta): se non c'è qualcuno che afferma ciò non ci si può aspettare che il foglio in sé possa dire della sua proprietà positiva die esistere o meno. Quindi è necessario un soggetto che affermi qualcosa affinché ci sia una proprietà positiva. Allora possiamo chiederci quale può essere una proprietà positiva sul versante del soggetto.
Si potrebbe obiettare che la proprietà positiva non è dalla parte dell'oggetto (foglio di carta), ma è attribuita ad esso da qualcuno che afferma ciò: il foglio in sé nulla può dire della sua proprietà positiva di esistere. Quindi è necessario un soggetto che affermi qualcosa affinché un qualsiasi oggetto abbia una proprietà positiva.
Chiediamoci allora quale possa essere una minima proprietà positiva dalla parte del soggetto. A questo riguardo una minima proprietà positiva del soggetto può essere "io penso". Quest'affermazione, stando a quanto ci ha insegnato Cartesio, è incontrovertibile. Se esiste la proprietà positiva, "io penso", dice Cartesio, esiste anche un'altra proprietà positiva, "io sono". Le proprietà positive, quindi, sono già due: "io penso", "io sono". Ora, se esistono due proprietà positive - e facciamo attenzione a questo giochetto -, noi possiamo numerarle e sommarle. Ora, la somma di queste due proprietà positive è positiva? Certamente: una proprietà positiva più un'altra proprietà positiva produce sempre una proprietà positiva. Chiamiamola allora terza proprietà positiva, come somma delle prime due. Ora le proprietà positive sono tre. Sommiamole ancora: ne viene una quarta. Ne consegue che, se c'è una proprietà positiva, ci sono infinite proprietà positive. Tutto questo possiamo affermarlo solo a partire dal primo assioma, e già vedete dove comincia ad andare a parare il nostro amico Gödel. Si potrebbe ora obiettare che, in realtà, il nostro ragionamento è partito non da una proprietà positiva ma da due: "io penso" e "io sono". Supponiamo di partire ancora da "io penso" e di non seguire più Cartesio concludendo che "io sono".
"Io penso", come abbiamo visto, è una proprietà positiva, a questo punto ci si può chiedere: chi pensa? e che cosa pensa? Si capisce immediatamente che la primitiva affermazione "io penso" si è divisa in due proprietà positive: il pensante ed il pensato. A questo punto dalle due proprietà positive si può passare alla terza nello stesso modo visto sopra, e così via.
Una volta che abbiamo assodato che il primo assioma è indiscutibile, vediamo che la sua negazione, invece, non dica nulla attorno al soggetto di cui stiamo parlando. "Io non penso" è una contraddizione autoevidente. Mentre "Io non sono" è ancor più fortemente contraddittoria perché è un'affermazione di qualcuno che è. Quindi è necessario che la negazione d'una proprietà positiva sia negativa.
Il secondo assioma è formulato in questo modo: "Una proprietà è positiva se contiene necessariamente una proprietà positiva". È chiaro che qui incominciamo ad ampliare il concetto di proprietà positiva, perché possono esserci delle proprietà positive che contengono delle negazioni, che però al loro interno devono contenere delle proprietà positive. Ad esempio, se io dico: "Io non sono svizzero, ma sono italiano", questa frase, nel suo complesso, esprime una proprietà positiva, pur contenendo al suo interno una proprietà negativa. Di conseguenza una proprietà è positiva se al suo interno contiene almeno una proprietà positiva. Anche la sola negazione "io non sono svizzero" contiene la proprietà positiva di essere: non sono svizzero, ma sono.
Vediamo ora il primo teorema: "Una proprietà positiva è logicamente coerente". "Logicamente coerente" vuol dire che l'enunciato non contiene delle autocontraddizioni. Non occorre dimostrarlo, perché è perfettamente evidente; se io affermo una proprietà positiva, questa non può essere autocontraddittoria; non esistono esempi di autocontraddittorietà d'una questione positiva. A questo punto ho bisogno d'un altro piccolo inciso, al fine di introdurre il concetto di simile che compare nella dimostrazione di Gödel. Che cosa s'intende quando diciamo che una cosa è simile ad un'altra? Significa che questa cosa, simile a quella, ha tutte le proprietà di quella, tolta al più la proprietà della grandezza e della sua posizione spaziale. Diciamo che questo triangolo è simile ad un altro triangolo che è più in un altro luogo, se ha tutte le caratteristiche di quello (omotetia), tolta al più la grandezza.
Passiamo ora alla prima definizione: "Una cosa è simile a Dio se e soltanto se possiede tutte le proprietà positive". Qui c'è da porsi immediatamente una domanda, perché il concetto di Dio viene introdotto in modo del tutto improvviso. Da dove viene questo concetto? Non è affatto importante chiederselo, perché potremmo anche dire che una cosa è simile a Dio o a qualunque altra cosa - cosa che, in questo momento, Gödel chiama Dio, come se questa parola fosse un neologismo, cioè una parola inventata; al posto della parola "Dio" potremmo usare anche la parola "Giovanni", o anche un numero qualunque, e nulla cambierebbe nella dimostrazione; l'unico punto importante è che questa parola designi qualcosa che abbia la caratteristica di possedere tutte le proprietà positive. Ora, quante sono tutte le proprietà positive? Tutte le proprietà positive sono in numero infinito, come abbiamo visto prima. Diciamo allora che una cosa qualunque è simile a Dio se e soltanto se possiede tutte le proprietà positive, qualsiasi cosa poi s'intenda con la parola "Dio".
Adesso abbiamo bisogno d'un ulteriore assioma, perché abbiamo introdotto una nuova parola, cioè "Dio", per completare rispetto ad essa il nostro concetto di proprietà positiva. Esso è comunque del tutto autoevidente, e non ha bisogno di molti commenti. Il terzo assioma afferma: "Essere simile a Dio è una proprietà positiva". Infatti, se "essere simile a Dio" non fosse una proprietà positiva, Dio non avrebbe più tutte le proprietà positive, come abbiamo posto prima. Il fatto d'essere simile a Dio è quindi una proprietà positiva in modo del tutto autoevidente.
Vediamo ora il quarto assioma: "Essere una proprietà positiva è un fatto logico e quindi necessario". Questo vuol dire che nulla può essere se non c'è almeno una proprietà positiva, perché abbiamo visto prima che il minimo della proprietà positiva, comunque noi la pensiamo, è che ne implica un'altra, e quindi ne implica infinite. Perciò il fatto che ci sia una proprietà positiva è non solo logico, ma strettamente necessario, perché viviamo in un mondo che esiste.
Seconda definizione (qui si rientra in un campo più strettamente logico-matematico): "Una proprietà P è l'essenza d'una qualsiasi cosa x se e soltanto se x ha la proprietà di P e P è necessariamente minimale". Prima avevamo fatto l'esempio del triangolo simile all'altro triangolo, e che ne conserva tutte le caratteristiche, non avendo niente in più. Tanto che, qualsiasi cosa togliamo a questo triangolo, togliamo il fatto stesso d'essere un triangolo. La proprietà P "essere una figura geometrica con tre lati e tre angoli" è l'essenza dell'essere triangolo, perché, se togliamo qualcosa a questa proprietà P, il triangolo non è più un triangolo. Se ad esempio togliamo un lato, il triangolo non c'è più, similmente se togliamo un angolo. Questa proprietà P è necessariamente minimale, perché l'abbiamo ridotta ad essere l'unica caratteristica che occorre per esprimere il concetto d'essere triangolo.
Facciamo un esempio con i numeri. Supponiamo che l'essenza di x sia "essere un numero pari". Qual è la proprietà P che esprime l'essenza del pari ed è minimale? Essere divisibile per due. Ne consegue che qualunque numero x che contenga la proprietà positiva minimale d'essere divisibile per due è un numero pari.
Secondo teorema: "Se x è simile a Dio, allora il fatto di essere simile a Dio è l'essenza di x". È come dire che, se una cosa x - cioè una cosa che noi possiamo percepire o pensare - è simile a Dio, essere simile a Dio è l'essenza di x, in quanto noi possiamo attingere al pensare a Dio soltanto con la qualità minimale di Dio, dal momento che non possiamo pensare a Dio in toto, come non possiamo pensare a tutti i numeri pari, mentre, definendo la proprietà P "divisibile per due", riusciamo a pensare questa totalità anche senza pensarla tutta. Quindi io non posso pensare a Dio, come non posso pensare a tutti i numeri pari, perché la natura di questi oggetti di pensiero è sovrabbondante rispetto al mio pensiero, però posso pensare a delle qualità P che appartengono a Dio e ne esprimono un'essenza, come la qualità d'essere divisibile per due esprime l'essenza di tutti gli infiniti numeri pari. Allora, se io individuo una x, che sia simile a Dio, il fatto d'essere simile a Dio è l'essenza di questa x che io sono riuscito a pensare. Non è detto che io ci riesca, però; nessuno me lo sta ancora dimostrando. Questa è solo una mia considerazione, e non una certezza.
Definizione terza: "Una X qualsiasi esiste necessariamente se ha una proprietà essenziale". Supponiamo che x sia "essere un numero pari"; esiste necessariamente la proprietà P, "essere divisibile per due"; allora x esiste necessariamente. Il fatto che qualcosa di cui io considero l'aspetto minimale esista è necessario.
Ultimo assioma: "Essere necessariamente esistente è simile a Dio". Infatti, se Dio esiste, essere necessariamente esistente è una sua proprietà minimale, cioè è il minimo di quello che ne possiamo pensare, perché abbiamo già visto, con la definizione prima, che essere esistente è una proprietà positiva. Qual è la minima proprietà positiva? È essere. Allora, se essere è una proprietà positiva, siccome abbiamo definito Dio come l'insieme di tutte le proprietà positive, essere necessariamente esistente è simile a Dio. Di questo non si può dubitare!
Allora, una volta affermato questo assioma concludiamo con l'ultimo teorema, che è una deduzione logica di quanto abbiamo detto ora. Teorema tre: "Deve esserci qualche x tale che x è simile a Dio". Diciamolo con parole meno stringenti: esiste di sicuro una proprietà positiva - lo abbiamo visto all'inizio, è quello che mi aveva fatto chiudere il libro quella volta -, ergo esistono tutte le proprietà positive, ergo esistono infinite proprietà positive, ergo esiste una x che è simile a Dio. Ma, quale che sia la cosa simile a Dio, in quanto gli è simile, non può essere che Dio.

Considerazioni a margine

E. Perrella: Di questa dimostrazione, evidentemente, ognuno può pensare quello che crede. In definitiva, che cosa dimostra? Che, se esiste un metodo assiomatico, che consente di raggiungere della verità, se ne può dedurre con certezza che tutte le proprietà positive devono coesistere in un soggetto "simile a Dio" che non può essere che Dio stesso. Per quanto mi riguarda, non sono assolutamente certo che lo stesso Gödel credesse in quello che diceva, cioè che credesse in Dio, qualunque cosa s'intenda per "credere in Dio", anche se, biograficamente, pare dimostrato che ci credesse davvero, almeno da quel poco che ne so. Lo stesso Barrow, che riporta la pagina di Gödel sulla quale ci siamo soffermati, afferma di prescindere dal fatto che questa dimostrazione sia vera o non sia vera, anche se, per dimostrare che non è vera, bisognerebbe farlo. In definitiva, quello che penso io è che, se c'è dell'uno, e se l'infinito è uno - e che l'infinito sia uno credo che Cantor lo abbia assolutamente dimostrato - questo significa che vi è un assoluto che chiamiamo Dio. Potremmo chiamarlo diversamente? Non cambierebbe nulla. Che l'assoluto sia è assolutamente evidente per ciascuno. Certo, ciò che è evidente per ciascuno è che c'è dell'assoluto, al partitivo. Ma, se l'assoluto si riparte, non è forse proprio perché è, ed è come uno? Se la matematica funziona, pur partendo da assiomi che non sono dimostrati, e se essa esprime qualcosa di vero, è a causa del fatto che esiste un assoluto e un infinito in atto.

F. Borghero: Che l'infinito sia uno si deduce da tutti i ragionamenti di Cantor. Perrella ricordava, a proposito di Cantor, che qualsiasi segmento, per quanto piccolo noi lo possiamo pensare, contiene sempre infiniti punti, e questo è, ridotto all'osso, il concetto di continuum di Cantor. Ed è questo anche è il "paradiso di Cantor", che introduce l'infinito nel finito. In un milionesimo di millimetro esistono infiniti punti. Ma questo è ancora facile da sopportare. Quello che ci risulta insopportabile, invece, è che in un milionesimo di secondo esistano infiniti istanti. Quasi come se ogni secondo della nostra vita fosse in sé una specie di eternità.

 

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