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Emilio Filippini, Il rimprovero

 

Teorema di Euclide

Mi è stato chiesto da un gruppo di colleghi psicanalisti di far loro un esempio dell'uso della logica nelle discipline scientifiche. Perché, anche in un percorso analitico, ci si imbatte spesso in errori logici che gli analizzanti non si accorgono di commettere. In quest'ottica ho pensato di affrontare argomenti sia di logica formale (vedi gli articoli sul Cogito e su Gödel) che di matematica.

Siano A; B; C; tre numeri naturali tali per cui

e valga pertanto la seguente uguaglianza:

Si vuole dimostrare che qualsiasi numero primo che divide C divide anche A. Cioè:

dove il predicato p(x) indica che x è un numero primo, mentre la relazione d(x,y) indica che x è divisore di y.
Assumiamo per vera la negazione della (1.2). In altre parole: esiste un numero primo che è divisore di C e nello stesso tempo non è divisore di A. Cioè, in simboli:

Ora dall'assunto "x divide C" possiamo dedurre che esiste senz'altro un numero y tale per cui: x moltiplicato y è uguale a C:

Dalla (1.1) possiamo inoltre affermare che C è uguale ad A moltiplicato B:

Dalla (1.4) e dalla (1.5) si deduce che:

E naturalmente dalla (1.6) segue che:

Inoltre è bene ricordare che la (1.7) è una deduzione logica dell'assunto (1.3), il quale dice che x non divide A e che x divide C, inoltre (sempre dalla 1.3) dato che x è un numero primo, è vero anche che A non divide x.

Dunque il rapporto tra A ed x è tra numeri primi tra loro, cioè sono due numeri che non ammettono divisibilità, pertanto sono i due numeri più piccoli che hanno quel dato rapporto. Ma allora, poiché anche y e B hanno lo stesso rapporto, devono essere necessariamente due multipli rispettivamente di A ed x (teorema già dimostrato da Euclide VII, 20). Infine è evidente che y è multiplo di A e B è multiplo di x; cioè:

A questo punto è possibile ripetere il procedimento. In altre parole diciamo che se x divide B allora esiste un numero z tale che se è moltiplicato per x fornisce B, cioè:

Ma per l'assunto iniziale e dalla (1.9) segue che:

ovvero

inoltre è bene ricordare che la (1.12) è una deduzione logica dell'assunto (1.3), il quale dice che x non divide A e, dato che x è un numero primo, è vero anche che A non divide x.

Dunque il rapporto tra x ed A è tra numeri primi tra loro, cioè sono due numeri che non ammettono divisibilità, pertanto sono i due numeri più piccoli che hanno quel dato rapporto. Ma allora, poiché anche z ed A hanno lo stesso rapporto, devono essere necessariamente due multipli rispettivamente di A e x (teorema già dimostrato da Euclide VII, 20). Infine è evidente che se z è un multiplo di A e A è un multiplo di x allora x deve dividere A; cioè:

A questo punto possiamo terminare la dimostrazione in due modi diversi.

Primo metodo (dimostrazione per assurdo classica: dalla (1.3) si evince evidentemente la

che è una contraddizione della (1.13). Cioè si ottiene:

ciò afferma che l'assunzione per assurdo porta ad una contraddizione, pertanto deve essere vera la (1.2). c.v.v.

Secondo metodo (per assurdo senza riferimento alla contraddizione). Per qualsiasi x numero primo che divida C, aut divide anche A, aut non lo divide. Nel secondo caso (non lo divide) è vera la (1.3) da cui discende la (1.13) la quale dice che x divide A. Quindi qualsiasi numero che divide C divide anche A, cioè: (1.2). c.v.v.