Versione semplificata del
teorema dell'incompletezza di Kurt Gödel

Ogni numero naturale¹ (d'ora in poi dirò solo numero) è rappresentabile da un'unica sequenza di esponenti a₁; a₂; a₃; ecc della sua scomposizione in fattori primi².

Esempi:

cioè il numero 1 è rappresentabile dalla sequenza 0, il numero 2 è rappresentabile dalla sequenza 1, il numero 3 è rappresentabile dalla sequenza 0 ; 1, il numero 137.200 è rappresentabile dalla sequenza: 5 ; 0 ; 2 ; 3. (Queste sequenze rappresentano solo ed unicamente i numeri suddetti).

Premesso che i numeri primi non sono finiti.
Poniamo inoltre:

in modo che una proposizione (simbolo matematico o logico) si trasforma in una successione di numeri.

Esempi:

oppure

A questo punto diamo ad ogni posizione occupata dai simboli nella (1) e nella (2) un nome, e più precisamente un numero primo (al primo posto diamo il nome 2, al secondo posto il nome 3, al terzo posto il nome 5, ecc) così la (1) diventa:

così la (2) diventa:

questi numeri sono chiamati: numeri di Gödel (nG).

Risulta evidente che (Gödel dimostra queste quattro apparenti evidenze):
1) Ogni enunciato ha un nG (numero di Gödel) definito.
2) Enunciati differenti hanno nG differenti.
3) Dato un enunciato c'è un modo per ottenere il suo nG.
4) Dato un nG si può risalire all'enunciato che esso rappresenta.

In altre parole:

per ogni enunciato c'è sempre uno ed uno solo nG.

Inoltre è noto che una dimostrazione è una sequenza finita di proposizioni (ad ognuna delle quali è associato un nG), e che una sequenza di nG si può trasformare (con lo stesso procedimento di prima) in un singolo nG (perché i punti 1; 2; 3; 4; sui nG delle proposizioni valgono anche per i nG delle sequenze di proposizioni). Allora ogni proposizione dimostrabile ha il suo unico nG. Per di più sarà possibile costruire delle regole aritmetiche che connettono la rete dei nG delle proposizioni dimostrabili.
Una volta costruite tali regole (altro teorema di Gödel) si può affermare quanto segue:

x è il nG della dimostrazione di un teorema il cui nG è y.

Ultimo passo è quello di esprimere attraverso nG gli enunciati delle regole che connettono la rete dei nG con altri nG.

Con queste premesse vediamo se esiste una proposizione A tale che sia A che non A siano dimostrabili. Oppure se esiste una proposizione A tale che né A né non A siano dimostrabili.

Cioè esiste una proposizione A indecidibile?

Se esistesse allora il sistema di cui A fa parte sarà incompleto e non consistente.

A questo proposito il Teorema dell'incompletezza di Gödel (semplificato ed esposto in forma discorsiva) dice:

1) Consideriamo l'enunciato F: "x è il nG di un enunciato non dimostrabile", e la sua negazione F: "x è il nG di un enunciato dimostrabile".

2) È evidente che questo enunciato sarà vero o falso a seconda del valore dato alla variabile x.

3) Sia G_F il nG di F:

4) In F possiamo porre come variabile indipendente x un qualsiasi numero (ed F sarà vera o meno a seconda del valore di questo numero), poniamo al posto della variabile il numero G_F.

5) Allora l'enunciato F risulta: "G_F è il nG di un enunciato non dimostrabile"

6) Esaminiamo bene l'enunciato supponendo prima che F sia dimostrabile e poi che invece lo sia
F. Vediamo cosa succede.

6a) Sia F dimostrabile, allora G_F è il nG di una proposizione dimostrabile; però in questa proposizione si dichiara che G_F è il nG di una proposizione non dimostrabile. Ciò è contraddittorio, perciò F non è dimostrabile.

6b) Sia F dimostrabile, allora G_F è il nG di una proposizione dimostrabile; che però è in contraddizione con la definizione stessa di G_F (che è il nG di F, cioè di un enunciato non dimostrabile), perciò F non è dimostrabile.

7) Concludendo, se poniamo x=G_F allora né F né F sono dimostrabili. Abbiamo quindi costruito una proposizione indecidibile.

8) Perciò Gödel dimostra che la matematica è incompleta, nel senso che è impossibilitata a decidere sulla verità o falsità di un sotto insieme (aritmetica) di tutte le proposizioni matematiche legittimamente dedotte dagli assiomi della teoria dei numeri.

Note

1) I numeri naturali sono i numeri più semplici che esistano, sono quelli, per intenderci, che servono a contare le pecore. Esistono poi i numeri interi, i numeri razionali, i numeri reali, i numeri irrazionali; i quali, comunque, si evincono tutti partendo sempre dai numeri naturali, per esempio p (numero reale) è esprimibile come sequenza infinita di numeri naturali, cioè p=3,1415926...ecc.

2) Ricordo che ogni numero naturale è esprimibile come prodotto di una successione di potenze di numeri primi, per esempio il numero: