Emilio Filippini, Mamo

 

HEGEL

Premesso che per Hegel tutto si può ricondurre al pensiero ne consegue, che per il filosofo di Stoccarda, il pensiero è fondante.
Comunque si pensi il pensiero, esso è (per Hegel) in forma di significanti, simboli, colori, immagini, suoni e\o comunque di alcunché che possa essere trasmesso o ricordato.
Simboli parole suoni colori immagini sono oggetti simbolizzabili, quindi discreti (anche i colori seppur a prima vista non sembri).
Quindi i pensieri, come oggetti discreti, sono numerabili (ricordo che numerabile non significa finito, ma correlabile in rapporto biunivoco con i numeri naturali - come ad esempio lo sono i numeri razionali, pur essendo apparentemente più numerosi dei numeri naturali [vedi il metodo di Cantor]).
Premesso che le regole del pensiero sono anch'esse formulate da significanti, o gruppi di significanti ordinati, (logiche o illogiche esse siano).

Premesso inoltre che:
Ogni numero naturale (d'ora in poi dirò solo numero) è rappresentabile da un'unica sequenza di esponenti a1; a2; a3; ecc. della sua scomposizione in fattori primi, per es.


Premesso che i numeri primi non sono finiti. Poniamo inoltre:

in modo che una proposizione si trasforma in una serie di numeri; ad es.la proposizione "x divide A" che in linguaggio logico si scrive:

e che si legge "esiste un u tale che x moltiplicato per u dà A", diventa:

19.43.31.47.5.43.41.53.37

A questo punto diamo ad ogni posizione occupata dai simboli nella (1) un nome, e più precisamente un numero primo (al primo posto diamo il nome 2, al secondo posto il nome 3, al terzo posto il nome 5, ecc.) così la (1) diventa:

questo numero è chiamato: numero di Gödel della (1).
Risulta evidente che (Gödel dimostra queste quattro apparenti evidenze):

1) ogni enunciato ha un nG (numero di Gödel) definito

2) enunciati differenti hanno nG differenti

3) dato un enunciato c'è un modo per ottenere il suo nG

4) dato un nG si può risalire all'enunciato che esso rappresenta

In altre parole: per ogni enunciato c'è sempre uno ed uno solo nG.
Inoltre è noto che una dimostrazione è una sequenza finita di proposizioni (ad ognuna delle quali è associato un nG), e che una sequenza di nG si può trasformare (con lo stesso procedimento di prima) in un singolo nG (perché i punti 1; 2; 3; 4; sui nG delle proposizioni valgono anche per i nG delle sequenze di proposizioni). Allora ogni proposizione dimostrabile ha il suo unico nG. Per di più sarà possibile costruire delle regole aritmetiche che connettono la rete dei nG delle proposizioni dimostrabili. Una volta costruite tali regole (altro teorema di Gödel) si può affermare quanto segue: X è il nG della dimostrazione di un teorema il cui nG è Y.
Ultimo passo è quello di esprimere attraverso nG gli enunciati delle regole che connettono la rete dei nG con altri nG.

Con queste premesse vediamo se esiste una proposizione A tale che sia A che non A siano dimostrabili.
Oppure se esiste una proposizione A tale che né A né non A siano dimostrabili. Cioè esiste una proposizione A indecidibile?
Se esistesse allora il sistema di cui A fa parte sarà incompleto e non consistente.
Dice il:

Teorema di Gödel
(semplificato ed esposto in forma discorsiva)

1) Consideriamo l'enunciato F: "x è il nG di un enunciato non dimostrabile", e la sua negazione F: "x è il nG di un enunciato dimostrabile".

2) Questo enunciato sarà vero o falso a seconda del valore dato alla x.

3) Sia GF il nG di F:

4) In F possiamo porre come variabile indipendente x un qualsiasi numero (ed F sarà vera o meno a seconda del valore di questo numero), poniamo al posto della variabile il numero GF.

5) Allora l'enunciato F risulta: "GF è il nG di un enunciato non dimostrabile"

6) Esaminiamo bene l'enunciato supponendo prima che F sia dimostrabile e poi che invece lo
sia F. Vediamo cosa succede:

6a) Sia F dimostrabile, allora GF è il nG di una proposizione dimostrabile; però in questa proposizione si dichiara che GF è il nG di una proposizione non dimostrabile. Ciò è contraddittorio, perciò F non è dimostrabile.

6b) SiaF dimostrabile, allora GF è il nG di una proposizione dimostrabile; che però è in contraddizione con la definizione stessa di GF (che è il nG di F, cioè di un enunciato non dimostrabile), perciò F non è dimostrabile.

7) Concludendo, se poniamo x=GF allora né F né F sono dimostrabili. Abbiamo quindi costruito una proposizione indecidibile.

8) Perciò Gödel dimostra che la matematica è incompleta, nel senso che è impossibilitata a decidere sulla verità o falsità di un sotto-insieme di tutte le proposizioni matematiche legittimamente dedotte dagli assiomi della teoria dei numeri.

Ergo la filosofia di Hegel non è al riparo dall'autocondradditorietà!

 

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